线性代数示例

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - 6 \cdot 4$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$16 - 24$

解题步骤 2.2.2

从 $16$ 中减去 $24$ 。

$- 8$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

解题步骤 6

将 $- \frac{1}{8}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.1.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.2.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.2.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.2.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{- 1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.5.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.5.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.5.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.5.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 3 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.6

组合 $\frac{- 1}{4}$ 和 $- 3$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- - 3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.8.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.8.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.8.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.8.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{4} \end{array}]$

解题步骤 7.9

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

线性代数 示例

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